OCTUBRE

CLASE 1

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO 

En R²   

^{F(x,y) = 0    Función implícita de 2 variables.}

Generalmente, las funciones implícitas de dos variables representan una curva en el plano R²  

Sistemas de funciones implícitas 

F(x,y) = 0

G(x.y) = 0

Cada función representa una curva, entonces la intersección de estas curvas generan 1 o más puntos de intersección. 

  

En R^{3 
F(x.y.z) = 0  Función implícita de 3 variables.}

Estas funciones representan superficies, cabe mencionar que la generatriz es paralela al eje que no aparece en la función.

 

Si se tienen sistemas de 3 funciones implícitas, la solución son puntos en R³.

Ax + By + Cz + D = 0 Es una función implícita de primer grado y representa un plano cuya generatriz no es paralela a ningún eje.

Se debe conocer que la intersección de 3 superficies genera puntos.

CLASE 2

EL PLANO

Para determinar un plano se necesitan: 

Un punto Po(xo,yo,zo) y un vector Ñ(A, B, C) normal al plano. 

La ecuación del plano viene entonces dada por la relación:
A(x - xo) + B (y - yo) + C (z - zo) = 0 A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)
Donde D = -A.x - B.y - C.z

Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos.

a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma:

b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma:

c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma:

d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma:
A.x + B.y + C.z = 0

e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuación general toma la forma:

f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:
B.y + D = 0 ; y = Cte

g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:
A.x + D = 0 ; x = Cte.

ECUACIÓN VECTORIAL

Ésta expresa una recta en términos de 2 vectores: el vector posición de un punto cualquiera de la recta (<x,y,z>), y el vector dirección de la recta(<a,b,c>) multiplicado por una constante (en este caso lambda). Este último se obtiene fácilmente, con la diferencia de las coordenadas de dos puntos de la misma.

ECUACIÓN SEGMENTARÍA DE PLANO 

Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos

x = a ; y = b ; z = c.

Según lo anterior se tiene:

P_o = (a,0,0) ; P₁ = (0,b,0) ; P₂ = (0,0,c) ; P = (x,y,z)

Y la ecuación segmentaría del plano quedará en la forma:

∣∣∣∣x−a−a−ayb0z0c∣∣∣∣=0

y desarrollando el determinante:

b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c

o, lo que es igual : 

xa+yb+zc=1

ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO

Se mediante los cosenos directores. 

FACTOR NORMALIZANTE

 

DISTANCIA DE UN PUNTO AL PLANO

Conociendo los datos de la ecuación normal de un plano y el vector director del punto que se encuentra en el espacio, obtenemos la ecuación que permite obtener la distancia perpendicular de dicho punto al plano.

               

CLASE 3
PLANO DETERMINADO POR TRES PUNTOS

  

        

Si se conoce tres puntos pertenecientes al plano y los vectores directores respecto al origen, hallamos la ecuación del plano.

Dicha ecuación contiene lo que se llama el producto mixto.

El producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo de los 3 vectores implicados.

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS 

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA 

La ecuación de una recta conociendo un punto y el vector director es:

ECUACIONES PARAMETRICAS 

ECUACIONES CARTESIANAS 

                                                    

ECUACIÓN DE LA RECTA DADO 2 PUNTOS 

A partir de las ecuaciones generales de los dos planos que se van a intersecar, hallamos la ecuación de la recta que se forma en dicha intersección.