DICIEMBRE

CLASE 11
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN:

Las propiedades de la derivación de una sola variable se aplican para las funciones de 2 o mas variables.

Existe el mismo número de derivadas parciales que de variables independientes.

Cuando se supone una constante: 

DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN:

En R2 

En R3

Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales:

Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores.

Si las derivadas parciales son continuas entonces no dependen del orden en que se realicen, sino del número de veces que se derive respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el cálculo puede resultar más complicado en un orden que en otro)

Se llama diferencial de segundo orden de una función a la diferencial de su diferencial total:

Análogamente se define la diferencial de tercer orden:

CLASE 12

DERIVADA DIRECCIONAL 

La derivada direccional de f en (xo,yo) en la dirección de un vector unitario u=(a,b) es 

Si existe este límite:

Si f es una función diferenciable de x y de y, entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u=(a,b)

REGLA DE LA CADENA 

VECTOR GRADIENTE  

Observe que de acuerdo con el teorema, la derivada direccional se puede escribir como el producto punto de dos vectores:

El primer vector en este producto punto se presenta no soloal calcular las derivadas direccionales, sino también en muchos otros contextos. Por eso se le da un nombre especial, gradiente de f, y una notación especial (grad f,que se lee "nablaf")

Si f es una función de dos variables x y y, entonces el gradiente de f es la función vectorial del gradiente definida por:

CLASE 13

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES 

El incremento de una función es un valor exacto y real, el diferencial es un valor aproximado.

Definición matemática de incremento:

La palabra incremento se entiende como el aumento del valor de una variable. El incremento Δx de una variable x es el cambio  en x cuando esta crece o decrece  desde un valor X=X1, hasta un valor X=X2 y se escribe :

Si y=f(x), entonces:

Definición matemática de diferencial:

Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.

Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto,

                                              dy = df(x) = f'(x) · h

a)

b)

CLASE 14
DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 

PUNTOS EXTREMOS 

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS 

La función z=f(x,y) en un punto cualquiera (a,b) puede dar los siguentes casos:

  - Si f(x,y) < f(a,b) cuando (x,y) estan cerca de (a,b). El valor f(a,b) recibe el nombre de máximo relativo (MR) de f(x,y).

  - Si f(x,y) > f(a,b) cuando (x,y) estan cerca de (a,b), entonces se dice que f(x,y) tiene un mínimo relativo (mr) en (a,b) 

Ejemplo:

PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA

• Hallar las derivadas parciales fx, fy.
• Igualar a cero las derivadas parciales fx=0 fy=0 y hallar los puntos críticos.
• Hallar las derivadas parciales de segundo orden fxx, fxy,fyy.
• Determinar A= fxx; B=fxfy C=fyy
• Formar el determinante Jessiano: J=AC-B^2
• Evaluar si J>0; A<0 o C<0 existe un maximo relativo; si J>0;A>0 o C>0 existe un minimo relativo; si J<0; puntos de silla en (xo,yo) si J=0; existencia indeterminada