ENERO

CLASE 15
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS 
Toda función diferenciable en una región acotada y cerrada alcanza su valor máximo (o mínimo), o en un punto estacionario o en un punto de la frontera de la región.

Ejemplo:

Determinar los valores máximos y mínimos absolutos de:

en la región 

1) En los puntos estacionarios:

2) En los puntos de la frontera:

CLASE 16

MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONALES 

Método de multiplicadores de Lagrange.

Se denomina extremo condicionado de una función f(x, y) al máximo o mínimo de una función f(x, y) alcanzado con la condición de que las variables independientes estén relacionadas entre sí mediante la ecuación:

Para hallar los extremos condicionados de f(x, y) con la ecuación de enlace, se forma la FUNCIÓN DE LAGRANGE:

Donde:

-Se procede a hallar los puntos extremos para la función de Lagrange.

-Si tenemos u=f(x, y, z), g1(x, y, z)=0, g2(x, y, z)=0

Ejemplo: 

CLASE 17

INTEGRALES MÚLTIPLES

INTEGRAL DOBLE:

INTEGRAL TRIPLE:

TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACIÓN

REGIONES RECTANGULARES:

Estas integrales pueden denominarse integrales iteradas, debido a que se puede integrar en cualquier orden, manteniendo el mismo resultado.

REGIONES MÁS GENERALES: 

  

                                          (a)                                                  (b)

Para el caso a) donde (x) es constante y (y) depende de (x): 

Para el caso b) donde (y) es constante y (x) depende de (y):

TRANSFORMACIONES DE INTEGRALES MÚLTIPLES 

Las transformaciones se las puede a ser a las siguientes coordenada:

CLASE 18

Ejercicios de transformaciones:

CLASE 19

APLICACIONES 

1. Cálculo de áreas planas.

2. Cálculo de volúmenes.

3. Cálculo del centro de masa.

4.Cálculo de momento de inercia.

5. Cálculo de probabilidades.

Centro de masa:

Caso 1: 

CASO DISCRETO

Si tiene "n" partículas 

Caso 2:

CASO CONTINUO

Distribución de masa lineal:

Distribución de masa superficial:

Distribución de masa volumétrica:

Momento de Inercia

CLASE 20

Se realizo ejercicios referentes, al calculo de centros de masa de lamina, barras, esferas, etc.

CLASE 21

CAMPOS VECTORIALES

Un campo vectorial es una función cuyo dominio es un conjunto de puntos en R2 o bien en R3, y cuyo rango es un conjunto de vectores en V2 o en V3.

Un campo vectorial se define como una función que se define sobre un vector en Rn, es decir, un vector que se transforma en otro vector gracias a una función f:

Considerando un plano:

Sea D un conjunto en R2, una región plana. Un campo vectorial sobre R2 es una función F que asigna a cada punto (x,y) en D un vector bidimensional F(x,y). 

Considerando un espacio:

Sea E un subconjunto de R3. Un campo vectorial sobre R3 es una función F que asigna a cada punto (x,y,z) en D un vector bidimensional F(x,y,z).

CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS