NOVIEMBRE

CLASE 4
HAZ DE PLANOS
Conjunto infinito de planos que pasan por una recta común.

 

DISTANCIA DE UN PUNTO A LA RECTA L 

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA ESFERA

Conociendo el centro de la esfera más un punto de la misma se puede obtener la ecuación de la esfera.

CLASE 5 

SUPERFICIES DE SEGMENTO CIRCULAR (CUADRÁTICAS)

Se llaman así a la superficies de el espacio que vienen dadas por ecuaciones de segundo grado.

Algunas de las superficies cuadráticas son: 

Ejemplo:

• Se debe buscar las intersecciones con los ejes coordenados
• La intersección con los planos coordenados

• La intersección con los planos paralelos a los planos coordenados

El bosquejo de la figura seria: 

CLASE 6 

FUNCIONES VECTORIALES 

Las funciones vectoriales pueden tener "n" componentes:

F(t) = (f1(t), f2(t), ....... fn(t))

Para nuestro curso se trabaja hasta 3 componentes por que se trabaja en R3 es decir un espacio de tres dimensiones. Las Funciones vectoriales se representan:

r(t) = ( f(t), g(t), h(t) )

CLASE 7

LIMITES 

CONTINUIDAD 

DISCONTINUIDAD EVITABLE: 

DISCONTINUIDAD INEVITABLE:

CONTINUIDAD 

La función es continua si: 

DERIVACIÓN

La derivada en el espacio es la derivada parcial de cada una de sus componentes

INTEGRACIÓN 

La integral en el espacio es la integral parcial de cada una de sus componentes

CLASE 8

VECTOR TANGENTE UNITARIO 

La tangente de una curva es una recta que intersecta la curva en un solo punto. Es conocido por nosotros a través del cálculo que mediante la diferenciación de una función se obtiene el punto tangencial para la curva de esa función. Un concepto similar es aplicable al cálculo vectorial, junto con una excepción.

Para una función con un vector de la forma, (x), un vector de la forma es llamado vector tangente en el caso de que esta función sea real y su magnitud no sea igual a cero. En esta situación, la tangente de la función dada (x) en un punto arbitrario es paralela al vector tangente, en ese punto. Aquí, con el fin de tener un vector tangente, 0 es un pre-requisito esencial. Esto es debido a que un vector de magnitud cero no puede tener dirección.

VECTOR NORMAL PRINCIPAL

Un vector normal es algo similar a un vector unitario, suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector normal para la función dada es definida como:

VECTOR BINOMIAL 

Un vector binormal es un producto cruz o producto vectorial del vector normal y del vector unitario normal. Suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector binormal para la función dada se define como:

TRIEDRO MÓVIL 

RECTA TANGENCIAL:

                         

RECTA BINOMIAL: 

                            

RECTA NORMAL PRINCIPAL: 

                              

PLANO OSCULADOR: 

                               

PLANO RECTIFICANTE:

                               

PLANO NORMAL:

VECTOR CURVATURA

La medida en la cual se desvía un determinado objeto geométrico se conoce como curvatura. Existen básicamente dos tipos principales de curvatura: curvatura intrínseca y extrínseca. Para los objetos que se encuentran en un espacio diferente, en este tipo de enfoque que se relaciona con la curvatura del radio del círculo que traza el objeto correspondiente, se define una curvatura extrínseca. El círculo puede ser el ejemplo más sencillo de una curvatura extrínseca dado que encada punto de la circunferencia; la curvatura es igual al recíproco del radio. La curvatura intrínseca en la naturaleza es descrita por la variedad de Riemann en cada punto.

Una curvatura en un plano pertenece a una cantidad escalar, mientras que en 2D o 3D, la identidad de la curvatura es definida como un vector en el cual tanto la nitidez como la dirección de inclinación es considerada.

CLASE 9

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

DOMINIO

ANÁLISIS DEL DOMINIO 

A continuación se muestra un ejemplo sobre el análisis del dominio.

ANALÍTICO:

GRÁFICO :

DESCRIPTIVO:  

CLASE 10

CURVAS DE NIVEL

Las curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones son:

donde k es una constante (en el rango de f)

Si f(x,y,z)=k, entonces se generan las SUPERFICIES  de NIVEL

si f(x,y,z,w)=k, entonces se generan las HIPERSUPERFICIES DE NIVEL

LIMITES Y CONTINUIDAD

Para una función de dos variables:

tal que:

 

El entorno de aproximación es un disco de centros (a,b) y de radios d (d>0)

Se tienen infinitos caminos de aproximación a (a,b) por tanto:

• si por dos caminos o trayectorias diferentes el valor del limite es diferente, entonces concluimos que el limite no existe
• si por dos o mas caminos el valor del limite es el mismo, suponemos que el limite existe y debemos proceder a demostrar su existencia

En esta clase se estudio como demostrar la existencia del limite que se puede hacer por dos formas:

• Coordenadas polares: que consiste en realizar un cambio de variable donde:

Por medio de la definición

CONTINUIDAD:

Una función es continua si: 

una función es discontinua si: